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モジュライ空間[もじゅらいくうかん]
代数幾何学では、モジュライ空間(moduli space）とは（普通、スキーム、もしくは(algebraic stack)）空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、もしくは、そのような対象と(isomorphism class)を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まり（例えば、決められた種数を持つ滑らかな代数曲線のような）へ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化することができる。この脈絡では、「モジュラス」という用語は「パラメータ」と同じような意味に使われる。モジュライ空間は、初期には、対象の空間というよりはパラメータの空間として理解されていた。
==動機==
モジュライ空間は、幾何学的分類の結果を対象とする。つまり、モジュライ空間の点は、幾何学問題の解に対応する。ここで別な解もあった場合は、この解が同型であるならば（幾何学的に同一ならば）、モジュライ空間の点としては同一の点となる。モジュライ空間は問題のパラメータの普遍空間を与えるものと考えられる。たとえば、合同を同一視してユークリッド平面のすべての円を求める問題を考えると、任意の円は一意に 3つの点を与えると一意に決定することができるので、対応は、3 対 1 である。しかし、円は中心と半径で一意にパラメトライズできるので、2つの実パラメータと1つの正の実数のパラメータである。ここでは「合同での同一視」にのみ注目しているので、同じ半径を持つ異なる中心をもつ円は同一視するので、半径だけで興味の対象をパラメトライズするに充分である。従って、モジュライ空間は、正の実数の集合である。
モジュライ空間は、自然な幾何学的トポロジー的性質を持つ場合が多い。円の例では、モジュライ空間は抽象的な集合ではないが、異なる半径の絶対値が、2つの円が「近さ」を決める計量となる。モジュライ空間の幾何学的構造は、2つの幾何学的分類問題の解が近いか否かという局所的な構造を持っている一方で、込み入った大域的な構造も持っている。
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